viernes, 27 de noviembre de 2009

Introducción.
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones

CLASES DE PROPOSICIONES

Se pueden clasificar en atómicas y moleculares.
Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas ('y', 'o', 'siy solo si', 'entonces') o del adverbio de negacion 'no'.

Ejemplo:
- San Marcos es la universidad más antigua de américa.

Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos constitutivos pueden clasificarse en predicativas y relacionales; las predicativas constan de un sujeto y un predicado, y las relacionales constan de dos o mas sujetos vinculados entre si.

Las proposiciones moleculares, segun el tipo de conjuncion que lleven se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adbervio de negacion 'no' se llaman negativas.
• Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción compulativa 'y' o sus expresiones equivalentes como 'e', 'pero', 'aunque', 'aun cuando', 'ademas' etc..
• Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiva 'o' o sus equivalentes como 'u', 'ya..ya', 'bien..bien' etc...
• Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional 'si...entonces', o sus expresiones equivalentes tal como 'si', 'siempre qué', 'con tal qué', 'puesto qué', 'ya qué', 'cuando', 'de', 'a menos qué' etc..
• Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta 'si y solo si', o sus expresiones equivalentes como 'cuando y solo cuando', 'si...entonces y solo entonces'.
• Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negacion 'no', o sus expresiones equivalentes como 'nunca', 'jámas', 'tampoco', 'no es verdad que', 'carece de' etc..

LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

El Lenguaje natural y el Lenguaje formalizado
Existen dos tipos fundamentales de lenguajes: el noramal y el formalizado. El lenguaje normal es el utilizado en la vida familiar, en la vida cotidiana. Tiene una amplia gama expresiva, es decir, sirve para comunicar informaciones, formular órdenes, expresar deseos, sentimientos, etc. Pertenecen a este el ingles, frances, español.

El Lenguaje formalizado es el usado en la actividad científica, solo sirve para generar conocimientos y es un lenguaje especializado; pertenecen a este el lenguaje lógico y matemático.
VARIABLES PROPOSICIONALES Y OPERADORES LÓGICOS
El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad mas importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicionales y operadores o conectores lógicos.
Las variables proposicionales representan a cualquier proposicion atómica. Son letras minusculas del alfabeto castellano 'p', 'q', 'r', 's' etc. Los operadores lógicos además de enlazar o conectar proposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas. Son de dos clases: diádicos y monádicos; los diádicos tienen un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir afectan a dos variables.

La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F


La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición:
p q p ↔ q
V V F
V F V
F V V
F F F
La negación:
p ~p
V F
F V

La Negación conjunta dada por:
p q p

q
V V F
V F F
F V F
F F V

LaNegación Alterna dada por:
p q p | q
V V F
V F V
F V V
F F V
IMPLICACIÓN Y EQUIVALENCIA DE FORMULAS
Una fórmula 'A' implica a 'B' si y solo si unidas en forma condicional, 'A' como antecedente y 'B' como consecuente su matriz resulta tautológica; si su matriz es consistente o contradictoria, se dice que A implica a B.

Dos fórmulas 'A' y 'B' son equivalentes si y solo si sus matrices son iguales, si sus matrices son diferentes, se dice que 'A' y 'B' no son equivalentes.

Analisis de Inferencias

La lógica es fundamentalmente una teoría de la inferencia, es análisis formal de inferencias.La lógica es una ciencia formal que estudia la validez de las inferencias. Para decidir su validez la lógica cuenta con procedimientos de varios tipos, estos procedimientos pueden agruparsen en dos: métodos sintácticos y métodos semánticos.
Los métodos sintácticos consisten en transformaciones puramente lógicas a partir de ciertas reglas de inferencias. La forma normal conjuntiva, el método dela deducción natural, y el analógico.
Los metodos semánticos vinculan la noción de la 'validez' con la 'verdad', el metodo de la tabla de verdad y el metodo abreviado son ejemplos de este método.
Cuando el numero de valides pasa de tres se toma engorroso el método de la tabla de verdad. Para superar este inconveniente, se usa el método abreviado o de invalidez, que resulta mucho mas corto si bien se encuentra estrechamente vinculado con el de la tabla de verdad.

El procedimiento es inverso pues en tanto que en la tabla de verdad se comienza por las variables y por el operador de menor jerarquía cuyo valor queda determinado por la matriz principal o cifra tabular y por el operador de mayor jerarquía y se avanza hacia el de menor jerarquía terminado en las variables.

Desde luego, tratándose de una inferencia su formula será siempre condicional o implicativa y en relación con la cual, sabemos que es falsa si y solo si su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. El método consiste en lo siguiente: si de alguna manera es posible asignar valores veritativos a las formulas atómicas constituyentes de suerte que resulte verdadero el antecedente y falso el consecuente s e demostrara que la inferencia es invalida.

Procedimiento:

A. Se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente.
B. Se determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la falsedad de este.
C. Se trasladan estos valores al antecedente y se designan los valores de las demás de variables tratando de hacer verdadero el antecedente.
D. Si se verifica la hipótesis, la formula es no tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será invalida, si no se verifica la hipótesis, la formula será tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente será valida.

Ejemplo 1:

Sea a inferencia:

‘si eres fiscal, eres abogado. Si eres profesional, eres abogado.
Luego, si eres fiscal, eres profesional’.

V F
Formula: [(
p → q) ^(r → q)] → (p → r)

Procedimiento;

A. Se supone V (verdadero) el antecedente y f (falso) el consecuente:

V F
[(
p → q) ^(r → q)] → (p → r)




B. Se denomina el valor de las variables del consecuente:

V F
[(
p → q) ^(r → q)] → (p → r)
V F F

C. Se trasladan estos valores al antecedente y se asignan los valores a las demás variables:

V F
[(
p → q) ^(r → q)] → (p → r)
V V V V F V V F V F F

D. Habiendo asignado el valor de ‘V’ a la variable ‘q’ las dos premisas han asumido el valor de verdad y todo el antecedente ha tomado el valor de verdad con lo que queda verificada la hipótesis siendo, por lo tanto, la formula no tautológica; es decir, la inferencia correspondiente invalida.
Análisis de inferencias mediante el método analógico.

Este método consiste en comparar la formula o estructura de la inferencia que se quiere analizar con otra lógicamente valida.

Procedimiento:

Paso 1. Se explicita su formula lógica.
Paso 2. Se halla la formula.
Paso3. Se confronta la formula obtenida con las reglas de inferencia conocidas. Si la formula coincide con una de estas reglas podemos inferir inequívocamente que la inferencia original es valida; pero si la formuela atenta contra una de ellas entonces la inferencia no es valida.

Este método es muy practico aunque muy limitado a la confrontación con una lista previa de reglas conocidas consecuentemente, presupone el empleo de ciertas reglas de la lógica proposicional. En efecto, antes de efectuar el análisis de inferencias por este método presentaremos la lista de las principales reglas de la lógica proposicional y las leyes correspondientes.

Leyes de la lógica proposicional.

Las leyes lógicas son tautológicas o formas lógicamente verdaderas. Son formulas verdaderas independientemente de los valores que asumen sus variables proposicionales componentes. Su estudio es tarea fundamental de la lógica de proposiciones, puesto que ellas constituyen un poderoso instrumento para el análisis de inferencias. En efecto, una inferencia tiene la apariencia de ser lógicamente valida, pero que al ser formalizada su estructura lógica no es una ley lógica o tautológica entonces se dice que es una inferencia no valida o falsa.


A diferencia de las leyes – que son expresiones del calculo lógico, es decir, expresiones del lenguaje lógico -; Las reglas lógicas son expresiones meta lógicas, es decir, prescripciones que nos permiten pasar correctamente de una o mas premisas a una conclusión.

Los tres principios lógicos fundamentales conocidos por los filósofos y lógicos tradicionales fueron: el de identidad, el de no-contradicción y el de tercio excluido.


A. El principio de identidad.

Formulación ontológica: Toda cosa es idéntica a si misma.

Formulación lógica: Toda proposición es verdadera si y solo se ella misma es verdadera.

Formula: p ↔ p o también p → p

B. El principio de no-contradicción.

Formulación ontológica: Es imposible que una cosa sea y no sea al mismo tiempo y bajo e mismo respecto.

Formulación lógica: Es falso que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.


Formula: ~ (p ^ ~ p)

C. El principio del tercio excluido.

Formulación ontológica: Una cosa o bien tiene una propiedad o bien no la tiene y no hay una tercera posibilidad.

Formulación lógica: Una proposición o es verdades o es falsa. No tiene una posibilidad intermedia.

Formula: p ^ ~ p

Estos principios lógicos fundamentales gozaban de una situación de privilegio, puesto que los lógicos desde la antigüedad los consideraban dotados de ciertos atributos, tales como: eran evidentes universalmente verdaderos y construían la base de toda inferencia valida.


La lógica moderna ha cuestionado tales atributos. En efecto, ha realizado el criterio de evidencia, por ser este un criterio eminente psicológico. Igualmente, ha precisado que el principio del tercio excluido no es universalmente verdadero. Por ejemplo, no es valido en las llamadas lógicas polivalentes en donde se admiten, además de los valores verdadero y falso, un tercer valor. Finamente, sostiene que estos tres principios son insuficientes para probar la validez de todas las inferencias, aun dentro de los límites de la lógica proposicional.

Para la lógica moderna ninguna ley lógica tiene una situación de privilegio. Todas las tautológicas tienen igual jerarquía.

Principales reglas y leyes de la lógica proposicional.

1. Reglas del Modus ponens (MP): A partir de una formula condicional y de su antecedente, se obtiene su consecuente.

1. A → B
2. A
____________
. : . B
Ley del modus ponens (MP).

[(p → q) ^ p] → q

2. Regla del Modus Tollers (MT): A partir de una formula condicional y de la negación de su consecuente, se obtiene la negación del antecedente.

1. A → B
2. ~ B
__________

.:. B


Ley del Modus tollens (MT)

[(p → q) ^ ~ p] → ~ q


3. Regla del silogismo disyuntivo (SD). A partir de una formula disyuntiva y de la negación de una de sus componentes, se obtiene la otra componente.

a. 1. A v B
2. ~ A
________
.:. B

Ley del silogismo (SD)

[(p → q) ^ ~ p] → q


b. A v B
~ B
___________
.:. A
Ley del silogismo disyuntivo (SD)
[(p → q) ^ ~ q] → p

5. Regla del dilema constructivo (DC). A partir de dos formulas condicionales y de la disyunción de obtiene la disyunción de sus consecuentes.


A → B
C → D
A v C
__________
.::. B v D

Ley del dilema constructivo (DC)

[(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s)

Regla del dilema destructivo (DD): A partir de dos formulas condicionales y de las negaciones de sus consecuentes, se obtiene la disyunción de las negaciones de antecedentes.
A → B
C → D
~ B v ~ D
__________
.:. ~ A v ~ C

Ley del dilema destructivo (DD)

{[(p → q) ^ (r → s)] ^ (~ q v ~ s)} → (~ p v ~ r)

Regla de la simplificación (Simp.): A partir de la conjunción de dos formulas se obtiene una de ellas.

A ^ B
________
.:. B


Ley de simplificación (Simp.)

(p ^ q) → q

Regla de conjunción (Conj.): A partir de dos formulas se obtiene la conjunción con cualquiera otra.

A
_______
.:. A ^ B

Ley de la conjunción (Conj.)
(p ^ q) → (p ^ q)

Regla de la adición (Ad.): A partir de una formula se obtiene la disyunción se esa formula con cualquier otra.

A
______
.:. A v B

Método de la deducción natural.

La deducción natural como un método sintáctico y no algorítmico.

El método de la deducción natural fue propuesto en 1934 por el investigador Gerhard Gentzen. Desde entonces se conocen diversas variantes de el que algunos textos de lógica presentan como reglas para construir derivaciones, sintéticos, y dentro de estos a los no algorítmicos. Es sintético por que procede solo transformaciones de las formulas aplicando a las premisas unas serie de reglas o leyes previamente adoptadas. Es no algorítmico por que el numero de pasos de puede prescribirse previamente en su totalidad. Su eficiencia va de acuerdo a la capacidad natural o adquirida del que lo aplica.

Procedimiento:

De acuerdo al método de la deducción natural, para evaluar una inferencia, es decir, para mostrar que la conclusión de una inferencia se sigue lógicamente de las premisas, es preciso indicar las reglas de inferencias validadas elementales que conducen de las premisas a la conclusión.

Dada una inferencia cualquiera, el proceso derivado consta de los siguientes pasos:

Paso 1. Se asigna a cada proposición atómica su correspondiente variable.

Paso 2. Se simboliza las premisas y la conclusión disponiendo aquellas en forma vertical y escribiendo la conclusión a continuación de la última premisa en el mismo renglón. Entre la ultima premisa y la conclusión se escribe una barra separadora ‘/’ seguida del símbolo ‘.:.’ que se lee ‘luego’ o ‘por lo tanto’.

Paso 3. Se procede a ejecutar las derivaciones tomando como punto de partida cualquiera de las premisas, siempre que sea factible e indicando a la derecha en forma abreviada de que premisas y mediante que ley o regla se ha obtenido la nueva expresión.
Modalidades de la deducción natural.
Prueba directa (PD)

Sea la inferencia siguiente.

Si hay abundancia de peces, habrá abundante harina de pescado. Si hay abundante harina de pescado, se incrementa la exportación. La exportación no se incrementa. O hay abundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades, será preciso recurrir a otras actividades.

Se halla su formula lógica.
Se halla su formula: se determinan las variables y se expresan simbólicamente las premisas y la conclusión.
Se efectúan las derivaciones.



Prueba condicional (PC)

La prueba condicional (PC) es una modalidad dentro del método de la deducción natural y se aplica en los casos en que una inferencia tenga conclusión condicional o implicativa.

En efecto, siendo la conclusión una formula condicional o implicativa necesariamente tendrá antecedente y consecuente. Para saber si una conclusión de este tipo se deriva de las premisas dadas se agrega el antecedente de la conclusión a las premisas, y, luego, aplicando a este nuevo conjunto de premisas las reglas o leyes lógicas ya conocidas, se realizan las derivaciones hasta obtener el consecuente de la conclusión.


Procedimiento:

Paso 1. Se toma primeramente su antecedente y se introduce como una nueva premisa (PA: premisa adicional).

Paso 2. Se efectúan las derivaciones corriendo la demostración algunos lugares hacia la derecha hallar el consecuente de la conclusión.

Paso 3. Se une implicativamente la premisa adicional con el último paso logrado volviendo la demostración ala izquierda, ala posición original.



La prueba por la reducción al absurdo (PRA)

Esta es otra modalidad dentro del método de la deducción natural. Resulta de la fusión de la regla de la prueba condicional y de la noción de contradicción; de aquí su nombre de reducción al absurdo.

Consiste en introducir como premisa adicional la negación de la conclusión para llegar a encontrar una contradicción en las premisas. Es decir, se supone la falsedad del consecuente para llegar a la falsedad del antecedente, mostrando de esta manera que la conclusión se halla implicando en las premisas (demostración indirecta).

Procedimiento:

1. Se niega la conclusión y se introduce como una nueva premisa.
2. Se efectúan las derivaciones corriendo la demostración varios lugares hacia la derecha hasta encontrar una contradicción.
3. Se une en forma condicional o implicativa la premisa adicional con la contradicción (PC), volviendo la demostración a la izquierda, a la posición original.
4. Se establece la conclusión deseada como una inferencia lógicamente deducida de las premisas originales, aplicando la regla de la prueba por la reducción al absurdo (PRA).

[p → (q ^ ~ q)] → ~ p